การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนทางด้านวิศวกรรมไฟฟ้า มีความจำเป็น ที่จะต้องเข้าใจแนวคิดเรื่องจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนเป็นอย่างมาก จำนวนจริงมักใช้คำนวณทางด้านไฟฟ้าต่างๆ  ไม่ว่าจะเป็นเรื่องความต้านทาน กระแสไฟฟ้า และแรงดันไฟฟ้ากระแสตรง อย่างไรก็ตาม เมื่อเป็นเรื่องแหล่งกำเนิดไซนัสซอยด์ และเวกเตอร์ที่มีรูปแบบคลื่นตามจำนวนความถี่จะใช้จำนวนเชิงซ้อน โดยจำนวนเชิงซ้อนส่วนจริง            (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) จะถูกนำเสนอในรูปแบบของการรวมองค์ประกอบทั้งสองอย่างเข้าด้วยกัน

ตัวเลขจินตภาพ แทนด้วยสัญลักษณ์  "j" ทางด้านวิศวกรรมไฟฟ้า ใช้สำหรับจัดการสมการที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองของจำนวนลบ (√-1) โดยเรียกตัวเลขเหล่าว่า ตัวเลข "จินตภาพ" เนื่องจากตัวเลขดังกล่าวไม่ใช่จำนวนตัวเลขจริง เพื่อให้แยกแยะตัวเลขจินตภาพจากตัวเลขจริงได้  ตัวอักษร "j" จึงถูกนำมาใช้เป็นสัญลักษณ์แทนตัวกระทำ j (j-operator) เมื่อวาง "j" ไว้หน้าตัวเลขจริง จะเป็นการระบุว่า มีการดำเนินการทางจำนวนจินตภาพ

ตัวอย่างจำนวนจินตภาพได้แก่ j3, j12 และ j100 จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยจำนวนสองส่วนที่แตกต่างกัน แต่มีความเกี่ยวข้องกันคือ จำนวนจริง และจำนวนจินตภาพ โดยจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงบนระนาบเชิงซ้อนสองมิติ หรือที่เรียกกันว่า ระนาบ s  ซึ่งอ้างอิงถึงแกนที่แตกต่างกันสองแกนได้แก่ แกนจริง และแกนจินตภาพ ซึ่งส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนจะใช้ตัวย่อว่า Re(z) และ Im(z) ตามลำดับ

ในส่วนของจำนวนเชิงซ้อน การบวกและการลบจำนวนจินตภาพเป็นไปตามกฎ และใช้กฎเดียวกับจำนวนจริง ยกตัวอย่างเช่น j2 + j4 เท่ากับ j6  สิ่งที่ทำให้แตกต่างกันหลักๆ คือ การคูณ ที่นำจำนวนจินตภาพสองตัวมาคูณกันและมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงติดลบ โดยจำนวนจริงจะถูกจัดให้อยู่ในกรณีพิเศษที่เกิดขึ้นได้ของจำนวนเชิงซ้อน ที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ แสดงเป็นสัญลักษณ์  j0

ตัวกระทำ  j แทนรากที่สองของ -1 (√-1) และการคูณ "j" ต่อเนื่องกันจะให้ค่าเฉพาะเช่น -1, -j และ +1 ในทางวิศวกรรมไฟฟ้ามักใช้ "j" ระบุการหมุนเวกเตอร์ทวนเข็มนาฬิกา การคูณ หรือการยกกำลังแต่ละครั้งของ "j" (j2, j3 ฯลฯ) ทำให้เวกเตอร์หมุนด้วยมุมคงที่ 90 องศา ทวนเข็มนาฬิกา ในทางกลับกัน หากผลลัพธ์เป็น -j การเปลี่ยนเฟสจะกลายเป็น -90 องศา และหมุนตามเข็มนาฬิกา

หากคูณจำนวนจินตภาพด้วย j2  เวกเตอร์จะหมุนทวนเข็มนาฬิกา 180 องศา  j3 เวกเตอร์จะหมุน 270 องศา และ  j4 เวกเตอร์จะหมุนครบ 360 องศากลับสู่ตำแหน่งเดิม การคูณด้วย j10 หรือ j30 จะทำให้เวกเตอร์หมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยจำนวนที่สอดคล้องกัน โดยที่ระหว่างนั้น ขนาดของเวกเตอร์จะยังคงมีขนาดเท่าเดิมตลอดการหมุน

ในสาขาวิศวกรรมไฟฟ้า จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงในรูปแบบกราฟฟิก หรือทางคณิตศาสตร์ได้หลากหลายวิธี โดยรูปแบบหนึ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปคือ คาร์ทีเซียน หรือรูปแบบแกนมุมฉาก ซึ่งใช้ตามกฎโคไซน์ และกฏไซน์

ในรูปแบบแกนมุมฉาก จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์  Z = x + jy โดยที่:

• Z หมายถึง จำนวนเชิงซ้อน (เวกเตอร์)
• x หมายถึง ส่วนจริง หรือ active component‍
• y หมายถึง ส่วนจินตภาพ หรือ reactive component
• j กำหนดให้เป็น √-1

การแทนค่านี้ จำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับจุดบนระนาบเชิงซ้อน (ระนาบ s)  มี  x ทำหน้าที่ระบุตำแหน่งบนแกนจริงแนวนอน  และ y ระบุตำแหน่งบนแกนจินตภาพแนวตั้ง โดยทั้ง x และ y  มีค่าเป็นบวกหรือลบก็ได้ ส่งผลให้เกิดระนาบเชิงซ้อนสี่จตุภาคที่เรียกว่า แผนภาพ Argand

แผนภาพ Argand:

• แกนนอนแสดงจำนวนจริงมีค่าเป็นบวก ทางด้านขวา และแสดงจำนวนจริง มีค่าเป็นลบ ทางด้านซ้ายของแกนจินตภาพแนวตั้ง
• จำนวนจินตภาพมีค่าเป็นบวกจะอยู่เหนือแกนนอน ในขณะที่จำนวนจินตภาพมีค่าเป็นลบจะอยู่ด้านล่าง
• ระนาบเชิงซ้อนแบ่งออกเป็นสี่จตุภาคชื่อว่า QI, QII, QIII และ QIV

แผนภาพ Argand แสดงเฟสเซอร์ที่กำลังหมุนเป็นจุดในระนาบเชิงซ้อนให้เห็นได้ โดยที่รัศมีจะถูกกำหนดจากขนาดเฟสเซอร์ และเฟสเซอร์จะครบรอบเต็มวงกลมทุกๆ 2π/ω วินาที

นอกจากนี้ จำนวนเชิงซ้อนมีส่วนจริง หรือส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ได้เช่น Z = 6 + j0 หรือ Z = 0 + j4 ในกรณีนี้ จุดจะถูกพล็อตลงบนแกนจริง หรือแกนจินตภาพ มุมของจำนวนเชิงซ้อนสามารถคำนวณได้โดยการใช้ตรีโกณมิติ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือการวัดทวนเข็มนาฬิการอบๆ แผนภาพ Argand โดยเริ่มจากแกนจริงที่มีค่าเป็นบวก

มุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศาอยู่ในจตุภาคที่หนึ่ง (I) มุมระหว่าง 90 ถึง 180 องศาอยู่ในจตุภาคที่สอง (II) มุมระหว่าง 180 ถึง 270 องศาอยู่ในจตุภาคที่สาม (III) และมุมระหว่าง 270 ถึง วงกลม 360 องศาอยู่ในจตุภาคที่สี่ (IV)

หากต้องการบวกและลบจำนวนเชิงซ้อนในรูปแกนมุมฉาก กรุณาทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

1. เพิ่มส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้ได้ผลรวมของส่วนจริง
2. เพิ่มส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้ได้ผลรวมของส่วนจินตภาพ

กระบวนการนี้ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่เห็นในตัวอย่าง  A และ B