ทฤษฎีฉันทามติ (Consensus Theorem) เป็นกฎการลดรูปในพีชคณิตบูลีนที่ลดรูปนิพจน์ตรรกะโดยการกำจัดพจน์ที่ซ้ำซ้อน นั่นจึงเป็นเหตุผลที่มันถูกเรียกว่าทฤษฎีความซ้ำซ้อน (Redundancy Theorem) ด้วยเช่นกัน

ในการนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้ นิพจน์บูลีนต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. นิพจน์ต้องประกอบด้วยสามพจน์ (เช่น XY + X'Z + YZ)
2. เทอมหนึ่งควรมีตัวแปร (เช่น X) และอีกเทอมหนึ่งควรมีส่วนเติมเต็มของตัวแปรนั้น (เช่น X')
3. พจน์ที่สามควรประกอบด้วยตัวแปรทั้งหมดจากทั้งสองพจน์ ยกเว้นตัวแปรที่กล่าวถึงในข้อที่สอง (เช่น YZ ใน XY + X'Z + YZ)

สูตรทฤษฎีฉันทามติ

ทฤษฎีฉันทามติระบุว่า :

ในนิพจน์บูลีนที่มีสามพจน์ โดยที่พจน์หนึ่งประกอบด้วยตัวแปร อีกพจน์หนึ่งประกอบด้วยส่วนเติมเต็มของตัวแปรนั้น และพจน์ที่สามประกอบด้วยเศษเหลือที่ไม่ได้รับการชดเชยจากสองพจน์แรก พจน์ที่สามนี้ถือว่าซ้ำซ้อนและสามารถลบออกได้โดยไม่ส่งผลกระทบต่อความสมมูลเชิงตรรกะของนิพจน์

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้ทั้งกับผลรวมของผลคูณและผลคูณของผลรวม:

▸ แบบฟอร์มขั้นตอนการปฏิบัติงานมาตรฐาน (SOP )

AB + A'C + BC = AB + A'C

▸ ผลคูณของผลรวม (POS )

(A + B)(A' + C)(B + C) = (A + B)(A' + C)

ในที่นี้A'หมายถึงส่วนเติมเต็ม (NOT) ของ A หลังจากใช้ทฤษฎีบทนี้แล้ว เราจะสามารถเลือกได้เฉพาะพจน์ที่มีตัวแปรที่เป็นส่วนเติมเต็มเท่านั้น ทฤษฎีบทนี้ช่วยกำจัดพจน์ที่ซ้ำซ้อน BCหรือ(B + C)ในนิพจน์บูลีน พจน์BCหรือ(B + C)ไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้ายและสามารถตัดออกได้เพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น

พิสูจน์ทฤษฎีฉันทามติ

เราจะสาธิตวิธีการกรอกแบบฟอร์ม SOP ทีละขั้นตอน:

เริ่มจากด้านซ้าย :

AB + A'C + BC

▸เพิ่มข้อความแสดงความยินยอม :

AB + A'C + BC = AB + A'C + BC(A + A') (เนื่องจาก A + A' = 1)

▸ขยาย BC(A + A') :

= AB + A'C + ABC + A'BC

▸เรียงลำดับพจน์ใหม่ (กฎการสลับที่) :

= AB + ABC + A'C + A'BC

▸การแยกคำศัพท์ทั่วไป (กฎการดูดซับ):

= AB + ABC + A'C + A'BC

= AB(1 + C) + A'C(1 + B)      

= AB + A'C (เนื่องจาก 1 + C = 1 และ 1 + B = 1)

▸การลดรูปขั้นสุดท้าย :

AB + A'C + BC = AB + A'C

ดังนั้น คำว่าBCจึงไม่จำเป็น

เหตุใดทฤษฎีฉันทามติจึงมีความสำคัญ?

• มันช่วยลดความซับซ้อนของนิพจน์บูลีนและทำให้วงจรตรรกะเข้าใจง่ายขึ้น
• จำนวนเกตตรรกะที่น้อยลงหมายถึงต้นทุนที่ต่ำลงและการใช้พลังงานที่ลดลง
• มันมีประโยชน์มากในการออกแบบวงจรดิจิทัลที่มีประสิทธิภาพสูง

ตัวอย่างการแก้ปัญหาของทฤษฎีฉันทามติ

ตัวอย่างที่ 1 :

➣ F = AB + BC' + AC

ในที่นี้ เรามีตัวแปรสามตัวคือ A, B และ C ซึ่งแต่ละตัวปรากฏซ้ำกันสองครั้ง ตัวแปร C ปรากฏในรูปแบบของการบวก ดังนั้น เงื่อนไขทั้งหมดจึงเป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้

หลังจากใช้ทฤษฎีความซ้ำซ้อนแล้ว เราจำเป็นต้องเขียนเฉพาะพจน์ที่มีตัวแปรเพิ่มเติม (เช่น C) และละเว้นพจน์ที่ซ้ำซ้อน (เช่น AB )

➣ .'. F = BC' + AC

ตัวอย่างที่ 2 :

➣ F = (A + B).(A' + C).(B + C)

มีตัวแปรสามตัวที่ปรากฏ และทุกตัวปรากฏซ้ำสองครั้ง ตัวแปร A ปรากฏในรูปแบบของการบวก ดังนั้น เงื่อนไขทั้งสามข้อของทฤษฎีบทนี้จึงเป็นจริง

หลังจากใช้ทฤษฎีความซ้ำซ้อนแล้ว เราจำเป็นต้องเขียนเฉพาะพจน์ที่มีตัวแปรเพิ่มเติม (เช่น A) และละเว้นพจน์ที่ซ้ำซ้อน (เช่น (B + C) )

➣ .'. F = (A + B).(A' + C)

พิจารณาสมการต่อไปนี้ :

➣ Y = AB + A'C + BC

ส่วนประกอบที่สาม BC เป็นส่วนประกอบฉันทามติที่ซ้ำซ้อน หาก A เปลี่ยนจาก 1 เป็น 0 ในขณะที่ B=1 และ C=1 ค่า Y จะยังคงอยู่เป็น 1 ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ A ในเกตตรรกะ ส่วนประกอบแรกและส่วนประกอบที่สองอาจกลายเป็นศูนย์ได้ชั่วขณะ ส่วนประกอบที่สามจะป้องกันสิ่งนี้เนื่องจากค่า 1 ของมันในกรณีนี้จะไม่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ A ดังนั้น การกำจัดความซ้ำซ้อนทางตรรกะจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากทำให้เครือข่ายมีความซับซ้อนโดยไม่จำเป็นและเพิ่มต้นทุนในการใช้งาน ดังนั้น เราสามารถลดรูปนิพจน์บูลีนเพื่อแก้ปัญหานี้ได้

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีฉันทามติ

1. วิธีนี้ช่วยลดจำนวนเกตตรรกะในวงจรได้
2. ช่วยลดการใช้ฟังก์ชันบูลีนให้น้อยที่สุด
3. ช่วยเพิ่มประสิทธิภาพวงจรตรรกะในซีพียูและส่วนประกอบอื่นๆ

ทฤษฎีการสลับตำแหน่งคืออะไร?

ทฤษฎีบทการสลับตำแหน่งกล่าวว่า ในฟังก์ชันบูลีน:

(A + B)(A' + C) = AC + A'B

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์ในการออกแบบและลดความซับซ้อนของวงจรไฟฟ้า โดยแสดงให้เห็นถึงอีกวิธีหนึ่งในการแสดงฟังก์ชันบูลีน